Laplace Transform
2022/03/02
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拉普拉斯變換
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衰減。
「指數信號 exp(-x) 是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數信號之後，很容易滿足絕對可積的條件。」[1]。
「傅立葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內絕對可積的信號才可能存在傅立葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數信號 exp(-x) 是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數信號之後，很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始信號乘上指數信號之後一般都能滿足傅立葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉化為代數方程，在 18 世紀計算機還遠未發明的時候，意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅立葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數信號為 exp(0)。」[1]。
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z 變換
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「Z 變換可以說是針對離散信號和系統的拉普拉斯變換，由此我們就很容易理解 Z 變換的重要性，也很容易理解 Z 變換和傅立葉變換之間的關係。Z 變換中的 Z 平面與拉普拉斯中的 S 平面存在映射的關係，z = exp(Ts)。在 Z 變換中，單位圓上的結果即對應離散時間傅立葉變換的結果。」[1]。
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References
[1] 傅里叶变换和拉普拉斯变换的物理解释及区别
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5NzEyMzg4MA==&mid=2649416865&idx=1&sn=d0e90a0d03e688b44f344d2a01fb4244&chksm=bec086e689b70ff0a70b89f8a3699f3f0961ec426dbedb49494b8aa72509647c6cb43fdc9f12&mpshare=1&scene=23&srcid=&sharer_sharetime=1592309118277&sharer_shareid=31081a726b4a58da019269b2911a5caa#rd
[2] DTFT：離散序列傅立葉變換？就是z變換的一種特殊形式 - 每日頭條
https://kknews.cc/zh-tw/news/98nxvll.html
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