Fourier Transform

 Fourier Transform

2022/01/18

-----

https://pixabay.com/zh/photos/board-mathematics-math-fourier-3804006/

-----

◎ 說明：

-----

Q1：傅立葉變換與傅立葉級數不同之處？

-----

Fig. 1. From Fourier Series to Fourier Transform [4].

A1：傅立葉變換是將傅立葉級數的週期信號擴充到非週期信號，頻譜則從離散變成連續。兩者都是連續信號。圖一的公式推導展示了頻譜為何從離散變成連續 [4]。

-----

Q2：傅立葉變換的定義？

Fig. 2. Fourier Transform -- wiki [1].

A2：

-----

Q3：傅立葉變換的定義？

Fig. 3. Fourier Transform -- Oppenheim [5].

A3：

-----

-----

◎ 參考資料：

-----

1. 振幅、頻率、相位 [3]。

-----

「經傅立葉轉換生成的函數 hat f 稱作原函數 f 的傅立葉轉換、亦稱頻譜。在許多情況下，傅立葉轉換是可逆的，即可通過 hat f 得到其原函數 f。通常情況下，f 是實數函數，而 hat f 則是複函數，用一個複數來表示振幅和相位。」[2]。

「在訊號處理中，傅立葉轉換的典型用途是將訊號分解成振幅分量和頻率分量。」[2]。

-----

2. 角頻率

-----

「傅立葉轉換也可以寫成角頻率形式： ω = 2πξ 其單位是弧度每秒。」[2]。

-----

3. 從週期到非週期

-----

「傅立葉分析最初是研究週期性現象，即傅立葉級數的，後來通過傅立葉轉換將其推廣到了非週期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非週期性現象視為週期性現象的一個特例，即其週期為無限長。」[2]。

-----

4. 么正轉換

-----

「傅立葉轉換也可以寫成角頻率形式： ω = 2πξ 其單位是弧度每秒。 若不按照本文中使用的，而像這樣定義傅立葉轉換，那它將不再是 L2(Rn) 上的一個么正轉換。 另外這樣的定義也使傅立葉轉換與其逆轉換顯得不太對稱。 根據這一形式，傅立葉轉換是再次成為 L2(Rn) 上的一個么正轉換。」[2]。

-----

5. 除與乘

-----

「輸入數列與一個波，靠左對齊。 N 個對應位置，相除後求和，得到一個輸出數值。可以簡單想做：輸入數列除以波，求比例。輸入數列，分別除以 N 個波，得到 N 個輸出數值，形成輸出數列。這就是傅立葉轉換。」

「正向傅立葉轉換：一個複雜的波，拆解成 N 個平穩的波，頻率是 0 倍到 N-1 倍，振幅與相位是 N 個輸出數值的強度與相位。」

「逆向傅立葉轉換： N 個平穩的波，頻率是 0 倍到 N-1 倍，分別乘上振幅、添上相位，疊加成一個複雜的波。」

「為了加快計算速度，正向傅立葉轉換經常改成不除以 √N ，逆向傅立葉轉換經常改成多除以 √N 。」[6]。

-----

References

[1] Fourier transform - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

[2] 傅立葉轉換 - 維基百科，自由的百科全書

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2

# 傅立葉變換的簡明版，點出了歐拉公式與正交基在傅立葉變換中的重要性。 

[3] 傅立叶变换如何理解？美颜和变声都是什么原理？李永乐老师告诉你 - YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=0LuyxzqI3Hk

# 推廣至週期無限大後可知由離散頻譜變成實數的連續頻譜

[4] 傅立葉變換 - 單維彰

https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d242/24203.pdf

[5] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, with S. Hamid Nawab. Signals and systems. Prentice-Hall International, 1997.

https://www.amazon.com/Signals-Systems-2nd-Alan-Oppenheim/dp/0138147574

[6] 圖解傅立葉分析 - HackMD

https://hackmd.io/@sysprog/fourier-transform

[7] 傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06 - 知乎

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

[8] 如何理解傅里叶变换公式？ - 知乎

https://www.zhihu.com/question/19714540

[9] 傅立葉變換的物理意義_I am Rocky-CSDN博客_傅立葉轉換

https://blog.csdn.net/rocky_shared_image/article/details/8033439

[10] But what is the Fourier Transform? A visual introduction. - YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY

[11] Introduction to the Fourier Transform (Part 1) - YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=1JnayXHhjlg&t=18s

[12] Introduction to the Fourier Transform (Part 2) - YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=kKu6JDqNma8

[13] Introduction to the Fourier Transform

https://lpsa.swarthmore.edu/Fourier/Xforms/FXformIntro.html

-----