Man and History: Euler's Number

Euler's Number

2022/01/27

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e^x：某種變化率固定（實數軸）？報酬遞增？

e^ix：某種變化率固定（複平面）？圓周運動？

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◎ 說明：

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Fig. 1. Euler’s Number [1].

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Fig. 2. Compound Interest [1].

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複利

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「Jacob Bernoulli discovered this constant in 1683, while studying a question about compound interest: An account starts with $1.00 and pays 100 percent interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value of the account at year-end will be $2.00. What happens if the interest is computed and credited more frequently during the year?」- wiki

Jacob Bernoulli 在 1683 年發現了這個常數，當時他正在研究一個關於複利的問題：一個帳戶以 1.00 美元開始，每年支付 100% 的利息。如果利息被記入一次，在年底，帳戶在年底的價值將為 2.00 美元。如果在一年中更頻繁地計算和貸記利息，會發生什麼？

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一、Jacob Bernoulli in 1683。# 離散翻倍的連續版

二、e^x 的泰勒級數當 a = 0、x = 1。

三、e^x 轉為 sin x 及 cos x 的泰勒級數

四、由於 x 為複數時依然成立，因此可將 e^x 轉為 sin x 及 cos x 的泰勒級數，也就是歐拉公式。

五、歐拉恆等式，含 0、1、i、e、pi。

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◎ 參考資料：

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「第一次把 e 看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算。」[2]。

「定義 e 爲階乘倒數之無窮級數的和。」「e^x 的泰勒級數。」「x 為複數時依然成立，因此根據 sin x 及 cos x 的泰勒級數，得出在數學中一條稱為尤拉公式的重要等式。」「當 x = pi 的特例是尤拉恆等式，此式被理察·費曼稱為「尤拉的寶石」。」[2]。