Man and History: Complex Number

Complex Number

2022/01/22

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複數、複數平面、極座標、向量空間。

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◎ 說明：

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1. 虛數

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在 Double E （Electrical and Electronic Engineering）工程領域中，常用 j 代替 i 代表複數中的虛部，並且放在原來的實係數的前面 [10]。

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2. 複數平面（高斯平面）

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高斯認為「虛數」這個詞混淆了人們對於 i 這個「數」的觀念。其實只要不把 1、-1、i 理解為正一、負一、虛一，而是想成向前一、反向一、和側向一，即可清楚的理解「虛數」這個概念。[11]。

更進一步，在複數平面上，我們可以把 1、-1、i、-i 想成前一、後一、左一、右一。乘 i 與乘 -i 則變為左旋一與右旋一，或者逆旋一與順旋一。

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◎ 參考資料：

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1. 虛數

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「在電氣工程中，這種型別的數字被稱為“虛數”，並且為了將虛數與實數區分開，使用在電氣工程中通常用字母 j 作為 j 運算子。因此，字母 j 被放置在實數的前面以表示其虛數操作。

j 運算子的值等於√-1，兩個 j 相乘將得到 -1，三個 j 相乘為 -j，四個為 1。由於 j 運算子通常用於指示向量的逆時針旋轉，因此每個連續乘法為 j，j2，j3 等，將迫使向量在逆時針方向上旋轉 90o 的固定角度，如下所示。同樣地，如果在一個向量上乘以 -j ，相移將為 -90o，即順時針方向旋轉。」[10]。

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2. 複數平面（高斯平面）

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「偉大的德國數學家高斯是近代數學的奠基人之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉並列。他在 1799 年已經知道複數的幾何表示，在 1799 年、1815 年、1816 年對代數基本定理作出的三個證明中，都假定了複數和直角坐標平面上的點一一對應，但直到 1831 年他才對複平面作出詳細的說明。他說：“迄至目前為止，人們對於虛數的考慮，依然在很大的程度上把虛數歸結為一個有毛病的概念，以致給虛數蒙上一層朦朧而神奇色彩。我認為只要不把 +1、-1、i 叫做正一、負一和虛一，而稱之曰向前一，反向一和側向一，那么這層朦朧而神奇的色彩即可消失。”此後，人們才接受了複平面的思想，有些人還把複平面稱為高斯平面。　

利用複數的幾何表示法，複數又可以用坐標平面上的向量來表示，兩個複數相加可以按照向量加法的平行四邊形法則來進行，一個複數乘以 i（或 -i）相當於表示此複數的向量逆（或順）時針旋轉 90。這就使得物理上的許多向量：力、速度、加速度等等，都可以藉助於複數來進行計算，使複數成為物理學和其他自然科學的重要工具。」[11]。

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3. 複數與向量

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「高斯還把複數與複平面內的點一一對應起來，給出了複數的一種幾何解釋。不久，人們又將複數與平面向量聯絡起來，並使其在電工學、流體力學、振動理論、機翼理論中得到廣泛的實際應用，然後，又建立了以複數為變數的“複變函式”的理論，這是一個嶄新而強有力的數學分支，所以我們應該深刻認識到了“虛數不虛”的道理。」[12]。

「高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，並利用複數與向量之間一一對應的關係，闡述了複數的幾何加法與乘法。至此，複數理論才比較完整和系統地建立起來了。」[12]。

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4. 複數和向量是否可以比較

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「複數和向量是否可以比較，如果可以有什麼聯繫和區別？

共同點：

複數和向量（平面向量）在線性運算（數乘、加減）方面有類似的代數性質，在這個意義上，可以認為複數是一種特殊的向量；

複數和向量都只有“相等”的概念，而沒有如同實數的“大於”“小於”這樣的比較；

複數和平面向量可以定義類似的“長度”概念。」[13]。

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References

[1] Complex number - Wikipedia