Man and History: Fourier Series

Fourier Series

2022/01/22

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◎ 摘要：：

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簡介：[1] - [4]。

公式：[5] - [7]。

證明：[8] - [12]。

範例：[13] - [21]。

一串非常棒的傅立葉分析的影片：[22]。

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◎ 說明：

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Q1：傅立葉級數的定義？

A1：見 Fig. 1. [5] - [7]。

待補充。

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Fig. 1. Fourier Series [5] - [7].

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Q2：為何要使用正弦波與餘弦波來表現週期函數？

A2：

1. 奇函數與偶函數。

2. 正交。

3. 頻率、振幅、相位。

待補充。

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Q3：傅立葉級數的係數如何證明？

A3：

待補充。

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Q4：複數傅立葉級數的定義？

A4：

Fig. 2. Complex Fourier Series [4] - [6], [24].

待補充。

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◎ 參考資料：

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1. 傅立葉級數

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「在數學中，傅立葉級數（Fourier series）是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。更正式地說，對於滿足狄利克雷定理的週期函數，其傅立葉級數是由一組簡單振盪函數的加權和表示的方法。」[2]。

「另一個應用的例子是 Z 轉換，將傅立葉級數簡化為特殊情形 |z| = 1。傅立葉級數也是取樣定理原始證明的核心。傅立葉級數的研究是傅立葉分析的一個分支。」[2]。

「傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。」[2]。

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2. 偶函數與奇函數

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「既然傅立葉面對的是週期函數，不難想像他會設法將 V 中任一函數分解為吾人熟悉的週期函數的線性組合，而非多項式的線性組合。我們知道傅立葉最終選擇了餘弦和正弦函數，可能原因有二：第一，餘弦和正弦函數有非常簡單的微分與積分公式；第二點尤其重要，餘弦和正弦函數可建構出單範正交集。但為什麼傅立葉要同時使用餘弦和正弦函數？因為餘弦是偶函數，cos(-x) = cos x，正弦是奇函數，sin(-x) = -sin x，而任何函數 f(x) 都可分解成偶函數與奇函數的和。」[3]。

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3. 正交

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「公元 1822 年，法國數學家傅立葉將他在熱傳的研究成果出版成書，其中最重大的數學貢獻是他提出了一個獨特的正交分解展開式。傅立葉考慮單變量週期函數形成的向量空間，並以無限多個餘弦和正弦函數構成單範正交集，因此設計出無窮級數形式的展開式，後人稱為傅立葉級數（Fourier series）。」[3]。

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4. 傅立葉級數的係數代表每個頻率的振幅與相位。

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What do Fourier series coefficients represent?

「Fourier coefficients are complex-valued numbers that can be manipulated to show the magnitude and phase at specified frequencies associated with each coefficient. They can be used to determine which frequencies are present in a recorded signal.」[23]。

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5. 卷積

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「捲積的觀念在傅立葉分析中扮演了重要的角色，所以說了解捲積是必要的。」「當我們在考慮一個函數 f(x) 的傅立葉級數的部分和，我們可以將其表示為 f(x) 跟 DN(x) 的摺積，其中 DN(x) 為狄利克雷核。」「研究函數的傅立葉級數的部分和就是由研究函數跟狄利克雷核的摺積。」[2]。

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6. 狄利克雷核

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「Dn(t) 就是第 n 階 Dirichler 核 (nth Dirichlet kernel)，習慣上也稱為 sn(x) 之 Dirichlet 公式或 Dirichlet 奇異積分 (Dirichlet singular integral)。」[9]。

「Dfn(t) 稱為第 n 階共軛 Dirichler 核 (nth conjugate Dirichlet kernel)。」[9]。

「上面的推導過程除了說明 Dn(t)、Dfn(t) 如何出現之外，同時也告訴我們探討 Fourier 級數的收斂性問題等價於研究奇異積分的問題，而且 Fourier 級數的和是以褶積 (convolution) 的形式表現的。我們可以說研究 Fourier 級數自然而然就引進了褶積這個概念。」[9]。

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7. 傅立葉變換

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「傅立葉級數成功地將週期函數分解為無窮多個餘弦和正弦函數的線性組合，如欲將傅立葉級數推廣至非週期函數，最直接的方法是將所處理的函數定義於無限大區間 (且無任何特殊週期)，如此得到的分解表達式稱為傅立葉轉換 (Fourier transform)。」[4]。

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8. 離散時間傅立葉變換

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「離散時間傅立葉轉換是一個週期函數，通常用定義傅立葉級數的項進行定義。」[2]。

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References

[1] Fourier series - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series