Man and History: Hilbert Space

2022年3月16日星期三

Hilbert Space

2022/02/07

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◎ 說明：

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Q1：由 cos(nx) 與 sin(nx) 組成的 Hilbert Space 是什麼？

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◎ 參考資料：

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1. 帶有內積的完備向量空間

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「在數學裡，希爾伯特空間即完備的內積空間，也就是一個帶有內積的完備向量空間。希爾伯特空間是有限維歐幾里得空間的一個推廣，使之不局限於實數的情形和有限的維數，但又不失完備性（而不像一般的非歐幾里得空間那樣破壞了完備性）。與歐幾里得空間相仿，希爾伯特空間也是一個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引申而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有的柯西序列會收斂到此空間裡的一點，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。」[2]。

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2. 正交

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「傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函數表示成一族給定的基底函數的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個希爾伯特空間都有一族標準正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基底中的元素或其倍數的和。」[2]。

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3. 傅立葉級數

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「希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉轉換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公設化數學和量子力學的關鍵性概念之一。」[2]。

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4. 波函數

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「一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應用中，它可能代表了一列複數或是一個函數。例如在量子力學中，一個物理系統可以表示為一個複希爾伯特空間，其中的向量是描述系統可能狀態的波函數。」[2]。