Fourier Transform Family

 Fourier Transform Family

2022/03/03

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◎ 說明：

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傅立葉變換 [1] 是量子傅立葉變換 [2] 的基礎 [3]。

有關傅立葉變換家族 [4] - [6] 與量子傅立葉變換，在大學修課，從經典教科書《信號與系統》[7]、《離散時間信號處理》[8] 與《量子運算與量子資訊》[9] 開始仔細研讀，是一種學習方法，不一定每個人都有這樣的機會。先在網路上找到一些簡明易懂的參考資料 [1], [3] - [6] 幫助建立全觀，是我寫作這一系列文章的目的。幫助我自己，也幫助類似的學習者。

每個主題，到底要深入到怎樣的程度，才適合進到下個階段，視每個人自己的需求而定。如果您是一個「求速」的人，在掌握《Wave - 演算法筆記》 [3] 這篇文章的重點後，就可以直接進入量子傅立葉變換 [2] 這個主題了。如果不是的話，可以從傅立葉級數 [10] 仔細品味、推敲一下裡面的數學。

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https://pixabay.com/zh/photos/picket-fences-fence-fencing-349713/

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◎ 問題：

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Q1：傅立葉變換家族有哪些？

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Fig. 1. From Fourier Series to Fast Fourier Transform [4].

A1：圖一

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Q2：傅立葉變換家族有哪些（FS、FT、DFS、DTFT）？

Fig. 2. Fourier Transform Family [5].

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FS：。

FT：。

DFS：。

DTFT：。

https://i.stack.imgur.com/qhEtd.png

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Q3：傅立葉變換家族有哪些（FS、FT、DFS、DTFT、DFT）？

Fig. 3. The Family of Fourier Transform. 四種情況。 （通常傅立葉係數會除以周期 P。）[6]。

A3：一條公式也許很可怕，四條公式反而沒有那麼可怕。因為你可以透過比較其中的異同，去明瞭公式背後的意義。首先來看 FS、FT、DTFT、DFT 這四條主要公式。求和符號對應到離散時間 n，積分符號對應到連續時間 t。P 是週期 Period 的頭文字。參考圖三。

◎ 時間

x(t) 與 x(n)。所以我們知道 FS 與 FT 是處理連續時間的訊號。DTFT 與 DFT 是處理離散時間的訊號。

◎ 頻率

ωk 與 ω。

◎ 虛數 j

一般我們學到的虛數符號是 i，但是電子電機工程裡面，習慣用 j 代替 i，並且寫在原來的實係數之前，加上這個 j 是在歐拉數 e 的指數部分，如果你還沒有學過歐拉公式，那這四條公式，是真的很恐怖了。有關複數、歐拉數、歐拉公式，如果你不是很熟悉，可以先去參考一下連結的三篇文章。

◎ 歐拉數 e

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Q4

A4

Fig. 4. 傅立葉變換家族 [4] - [6]。

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◎ 參考資料：

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References

# 傅立葉變換的簡明版，點出了歐拉公式與正交基在傅立葉變換中的重要性。 

[1] 傅立叶变换如何理解？美颜和变声都是什么原理？李永乐老师告诉你 - YouTube

https://www.youtube.com/watch?v=0LuyxzqI3Hk

[2] Quantum Fourier Transform

http://mandhistory.blogspot.com/2022/01/quantum-fourier-transform.html

[3] Wave - 演算法筆記

https://web.ntnu.edu.tw/~algo/Wave.html

# 傅立葉變換家族

[4] 離散信號的傅立葉變換及反傅立葉轉換 @ Quastro 跨元占星 :: 痞客邦 ::

https://platoco.pixnet.net/blog/post/347661398-%E5%8F%AF%E8%A6%96%E5%8C%96%E7%9A%84%E5%82%85%E7%AB%8B%E8%91%89%E8%AE%8A%E6%8F%9B

# 傅立葉變換家族

[5] dft - Formulas of the Fourier transform family - Signal Processing Stack Exchange

https://dsp.stackexchange.com/questions/28020/formulas-of-the-fourier-transform-family

# 傅立葉變換家族

[6] Fourier Transforms for Continuous/Discrete Time/Frequency | Spectral Audio Signal Processing

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Fourier_Transforms_Continuous_Discrete_Time_Frequency.html

[7] Signals and systems

Willsky, Alan S., and Ian T. Young. Signals and systems. Prentice-Hall International, 1997.

https://www.amazon.com/Signals-Systems-2nd-Alan-Oppenheim/dp/0138147574

[8] Discrete-time signal processing

Oppenheim, Alan V. Discrete-time signal processing. Pearson Education India, 1999.

https://www.amazon.com/-/zh_TW/Alan-V-Oppenheim/dp/0137549202/

[9] Quantum computation and quantum information

Nielsen, Michael A., and Isaac Chuang. "Quantum computation and quantum information." (2002): 558-559.

https://www.amazon.com/Quantum-Computation-Information-10th-Anniversary/dp/1107002176

[10] Fourier Series

https://mandhistory.blogspot.com/2022/01/fourier-series.html

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